수학의 시작 -삼각함수-: 수학 문제가 하나도 없는 수학 개념서 : 시작을 잘 잡아야 수학을 잡는다.

삼각함수를 처음 접하는 많은 학생들이 삼각함수가 어렵다고들 합니다.

저는 그 이유를 알고 있습니다.

첫 번째로 삼각함수의 정의를 모릅니다.

두 번째로 삼각함수의 그래프를 잘 그리지 못합니다.

세 번째로 방정식과 함수의 관계를 모릅니다.

위 세 가지를 하나씩 살펴보겠습니다.

첫 번째, 삼각함수의 정의.

삼각함수의 정의는 직각삼각형이 왜 좌표평면 공간에 있는지에 대한 물음에서 출발해야 합니다.

좌표평면은 x좌표, y좌표가 실수이며 실수이기 때문에 양수, 0, 음수 세 가지중 하나를 가집니다.

학생들은 혼란스러운 것입니다. 삼각형의 변이 어떻게 음수가 나올 수 있어? 라고 말이죠.

이것은 도형과 좌표평면이 합쳐진 상황에서 어떤 원리를 따를 것인가에 대한 혼동에서 오는 것입니다.

삼각형과 좌표평면이 공존할 수 있을까요? 이것이 첫 번째로 해결해야하는 개념적인 부분입니다.

결론을 말씀드리면 좌표평면이 도형보다 우위에 있습니다. 좌표평면 속에서의 삼각형이라고 생각해야 하는 겁니다.

따라서 삼각형의 꼭지점은 바로 순서쌍 점(x,y)으로 나타낼 수 있어야 하고, 이를 통해 하나의 점(x,y)이 하나의 직각삼각형에 대응됨으로서 삼각함수의 정의가 출발하는 것입니다.

두 번째, 삼각함수의 그래프를 잘 못그립니다.

삼각함수의 그래프 뿐만 아니라 모든 함수의 그래프는 함수를 제대로 이해하는 첫 걸음이자 마지막 걸음입니다.

어떤 학생이 함수의 그래프를 못 그린다면 수학 점수가 낮을 것이라는 것을 100% 확신합니다. 그 정도로 함수의 그래프에 대한 이해가 중요합니다. 삼각함수의 그래프를 잘 그리려면 먼저 어떻게 해서 삼각함수의 그래프가 완성되는가에 대해 초집중을 해야 합니다. 이 부분을 다른 사람에게까지 설명할 수 있어야 합니다. 왜냐하면 삼각함수의 그래프는 그 정도가 되지 않으면 정확하게 이해했다고 보기 힘들기 때문입니다.

세 번째, 방정식과 함수의 관계를 모른다.

방정식은 방정식, 함수는 함수라고 잘못 생각하는 학생이 많습니다. 이 내용은 이차방정식과 이차함수의 관계에서 처음 다루어집니다. 이차방정식은 풀이법이 다양하기 때문에 학생들이 함수로 해석하여 문제를 해결하는 방식을 중요하게 여기지 않습니다. 하지만 삼각방정식과 삼각부등식으로 오게 되면 특별히 공식이 존재하지 않기 때문에 방정식과 부등식을 함수로 해석해서 푸는 것이 필수가 됩니다. 이때부터는 피할 수가 없는 것이죠. 그러므로 방정식과 부등식이 함수와 어떤 관련이 있는 것인지 자세히 들여다보아야 하는 것입니다.

이렇게 수학은 자세하게 보고 끈질기게 탐구해야 개념을 얻을 수 있는 과목입니다. 돋보기를 들이내밀고 왜 그런지 끝없이 질문을 던져야 하며 다른 사람에게 설명을 해야 합니다.

저는 학생들이 잘못한 부분이라기 보다 가르치는 사람이 잘못 가르치는 부분이 크다고 봅니다. 학생들이 개념을 회피하고 귀찮아할 때 그런 행동을 단지 '수학을 싫어하는구나' 정도로 그치는 것이 아니라 '어떻게 설명해야 할까'를 더 깊게 연구해야 한다고 생각합니다. 그런 과정에서 학문적인 희열을 맛볼 수 있고 흥미도 생길 것입니다.